<div dir="ltr">Some of you might be interested in the talk I am giving tomorrow in the Math Colloquium: &quot;<span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal">Ramanujan Graphs and Finite Free Probability&quot;</span><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal"><br></span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal">It is at 4:15 in LOM 215.</span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal"><br></span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal">Abstract:</span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal">We introduce &quot;Finite Free Probability&quot; to prove the existence of bipartite Ramanujan graphs of every degree and number of vertices. Ramanujan graphs are defined in terms of the eigenvalues of their adjacency or Laplacian matrices. In this spectral perspective, they are the best possible expander graphs. Infinite families of Ramanujan graphs were first constructed by Margulis and Lubotzky, Phillips and Sarnak. These constructions are sporadic, only producing graphs of special degrees and numbers of vertices. In this talk, we outline an elementary proof of the existence of bipartite Ramanujan graphs of every degree and number of vertices. We do this by considering the expected characteristic polynomial of a random d-regular graph. We develop finite analogs of results in free probability to compute this polynomial and to bound its roots. By proving that this polynomial is the average of polynomials in an interlacing family, we then prove there exists a graph in the distribution whose eigenvalues satisfy the Ramanujan bound.</span><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal"><br></span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal"><br></span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal">  --Dan</span></div><div><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Arial,Helvetica;line-height:normal"><br></span></div></div>